Folge/Stammbruchfunktion/Gleichmäßig stetig und Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}x_{n}$ eine Cauchy-Folge. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}m\geq n=n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Wir wählen ein ${}\delta <{\frac {1}{n_{0}^{2}}}$. Es sei

${}\vert {{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}}\vert \leq \delta \,.$

Bei ${}m\geq n\geq n_{0}$ ist unmittelbar

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,.$

Bei ${}n<n_{0}$ (und ${}m\geq n$ nach wie vor) ist (bei ${}m>n$)

${}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\geq {\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}\geq {\frac {1}{(n+1)^{2}}}\geq {\frac {1}{n_{0}^{2}}}>\delta \,.$

Das heißt, dass in diesem Fall die ${}\delta$-Bedingung nur bei ${}m=n$ erfüllt ist.

Es sei nun ${}f$ gleichmäßig stetig und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Sei ${}\delta >0$ eine zugehörige Aufwandsgenauigkeit. Es sei ${}n_{0}$ derart, dass ${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \delta$. Dann ist für ${}m\geq n\geq n_{0}$

${}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\leq {\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \delta \,$

und somit ist

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \vert {f(m)-f(n)}\vert \leq \epsilon \,.$

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