Folge/Stammbruchfunktion/Gleichmäßig stetig und Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}x_{n}$ eine Cauchy-Folge. Sei  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle  ${}m\geq n=n_{0}$  die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Wir wählen ein  ${}\delta <{\frac {1}{n_{0}^{2}}}$.  Es sei

${}\vert {{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}}\vert \leq \delta \,.$

Bei  ${}m\geq n\geq n_{0}$  ist unmittelbar

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,.$

Bei  ${}n<n_{0}$  (und  ${}m\geq n$  nach wie vor) ist (bei  ${}m>n$ )

${}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\geq {\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}\geq {\frac {1}{(n+1)^{2}}}\geq {\frac {1}{n_{0}^{2}}}>\delta \,.$

Das heißt, dass in diesem Fall die ${}\delta$-Bedingung nur bei  ${}m=n$  erfüllt ist.

Es sei nun ${}f$ gleichmäßig stetig und  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Sei  ${}\delta >0$  eine zugehörige Aufwandsgenauigkeit. Es sei ${}n_{0}$ derart, dass  ${}{\frac {1}{n_{0}}}\leq \delta$.  Dann ist für  ${}m\geq n\geq n_{0}$ 

${}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\leq {\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n_{0}}}\leq \delta \,$

und somit ist

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \vert {f(m)-f(n)}\vert \leq \epsilon \,.$

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