Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist.
Für
gerade ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n-1}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n}{2}}\right)}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}+1}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb6074e49dda3765876c881f37844c541d2d6c2)
wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für
ungerade ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n+1}{2}}-{\left(n+1\right)}}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {n+1}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}-1}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b191db4b5ff699ea240319cd0fbe721e56ae0461)
wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen
(gerade bzw. ungerade Glieder) konvergieren gegen
![{\displaystyle {}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e1b23db5ab6d3c02520ce17d0a7fdabddc8f0f)
und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen
![{\displaystyle {}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e1b23db5ab6d3c02520ce17d0a7fdabddc8f0f)
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