Folge von Folgen/Produktfolge mit wachsender Faktorenanzahl/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${}z_{n}$ muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei bis auf ein einziges Ausnahmeglied die Folge der Stammbrüche, und zwar sei

${}y_{kn}={\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}k$ und ${}n\neq k$ und

${}y_{kk}=k^{k-1}\,.$

Dann ist jede dieser Folge eine Nullfolge, da ja die Folge der Stammbrüche nur an einer einzigen Stelle abgeändert wurde und dies für das Konvergenzverhalten unerheblich ist. Damit ist

${}z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}={\left(\prod _{k=1}^{n-1}y_{kn}\right)}y_{nn}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{n-1}n^{n-1}=1\,.$

Es handelt sich also um die konstante Folge mit dem Wert ${}1$, die gegen ${}1$ konvergiert, und keine Nullfolge ist.

Zur gelösten Aufgabe