Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe ${}F$ keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von ${}F$ gleich ${}0$ sein. Dann kann man aber ${}F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${}{\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind ${}F$ und ${}G$ von ${}0$ verschiedene Potenzreihen, so ist

${}F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$

und

${}G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$

mit ${}a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

${}c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$

da die kleineren Koeffizienten alle ${}0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal ${}\neq 0$ von ${}T^{j}$ erzeugt, wobei ${}j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten ${}\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.

Zur bewiesenen Aussage