Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit ${}F(G)=T$ gibt. Dabei muss ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe ${}F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum ${}(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten ${}c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung

${}{\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an ${}a_{k}$.

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

$K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus ${}T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da ${}K[\![T]\!]$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage