Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe mit gibt. Dabei muss und sein. Sei nun die Potenreihe mit der gewünschten Eigenschaft bis zum -Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten hat man nach der Definition die Bedingung

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an .

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus , und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da nach Fakt ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage