Fourier-Transformation/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei

${}a=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert {f}\vert d\lambda ^{n}\,.$

Zu ${}\epsilon '=\epsilon /(a+2)$ gibt es nach Aufgabe einen abgeschlossenen Ball ${}B\left(0,r\right)$ mit

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon '\,.$

Wir setzen ${}\delta :={\frac {\epsilon '}{r}}$. Dann gilt für ${}{\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {u}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Vert {{\mathfrak {u}}_{1}-{\mathfrak {u}}_{2}}\Vert \leq \delta$ nach Aufgabe die Abschätzung

${}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {t}},{\mathfrak {u}}_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {t}},{\mathfrak {u}}_{2}\right\rangle }}\vert \leq \Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \Vert {{\mathfrak {u}}_{1}-{\mathfrak {u}}_{2}}\Vert \leq \Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \delta \,$

und damit

${}{\begin{aligned}\vert {{\hat {f}}({\mathfrak {u}}_{1})-{\hat {f}}({\mathfrak {u}}_{2})}\vert &\leq \vert {\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}}\vert \\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{B\left(0,r\right)}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}\vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {t}}\right\rangle }-e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}}_{2},{\mathfrak {t}}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&\leq \int _{B\left(0,r\right)}\Vert {\mathfrak {t}}\Vert \cdot \delta \cdot \vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+2\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}\vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}\\&\leq r\cdot \delta \cdot \int _{B\left(0,r\right)}\vert {f({\mathfrak {t}})}\vert d{\mathfrak {t}}+2\epsilon '\\&\leq r\cdot \delta \cdot a+2\epsilon '\\&\leq \epsilon '(a+2)\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage