Fourier-Transformation/Indikatorfunktion/Intervall/Beispiel

Sei  $a>0$  fixiert und sei $f$ die Indikatorfunktion zum Intervall $[-a,a]$. Dann ist für  $𝔲\ne 0$ 

$\begin{array}{cc}\hat{f}(𝔲)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-a}^a{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \left(\frac{-1}{\mathrm{i}𝔲}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}\right){|}_{-a}^a\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}𝔲}\cdot (-e^{-\mathrm{i}𝔲a}+e^{\mathrm{i}𝔲a})\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{2\sin \left(a𝔲\right)}{𝔲}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{\sin \left(a𝔲\right)}{𝔲}.\end{array}$

Bei  $𝔲=0$  ist direkt  $\hat{f}(0)=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{\pi }}$,  was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt.