Fourierkoeffizienten/Einschränkung auf halbes Intervall/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}m$ fixiert. Der ${}n$ -te Fourierkoeffizient von ${}e^{{\mathrm {i} }mt}$ ist (für ${}m\neq 2n$ )

{}{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }mt}e^{-2{\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }mt-2{\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }(m-2n)t}dt\\&=-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}e^{{\mathrm {i} }(m-2n)t}|_{0}^{\pi }\\&=-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}{\left(e^{{\mathrm {i} }(m-2n)\pi }-1\right)}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}{\text{ bei }}m{\text{ ungerade}}\,,\\0{\text{ bei }}m{\text{ gerade}}\,.\end{cases}}\end{aligned}}

Bei ${}m=2n$ ergibt sich

{}c_{n}=1

.