Funktion/Profil/Kraftfeld/Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion, wir stellen uns ihren Graphen als Profil vor, auf der sich ein Massekörper unter der konstanten Schwerkraft ${}g$ bewegt (ohne Reibungsverlust), man spricht von einer geführten Bewegung. Die Schwerkraft wirkt nach unten, für die Beschleunigung in Richtung der ${}x$-Achse ist aber nur die tangentiale Komponente des Kraftvektors verantwortlich. Der Kraftvektor ist also für jeden Punkt ${}(x,f(x))$ zu zerlegen in einen zur Tangente parallelen Anteil und einen dazu senkrechten Anteil (letztere beschreibt die Kraft, die entgegengesetzt aufgewendet werden muss, dass die Bewegung in der vorgegebenen Bahn bleibt, sie ist für das Folgende unerheblich). Dieses Kräftedreieck ist ähnlich zum Steigungsdreieck der Funktion in ${}(x,f(x))$. Im Steigungsdreieck ist die Länge der horizontalen Komponente gleich ${}1$, die Länge der vertikalen Komponente gleich ${}f'(x)$ und die Hypotenuse hat die Länge ${}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}$ (mit dem Steigungswinkel ${}\alpha$ ist ${}f'(x)=\tan \alpha$.) Im Kräftedreieck ist die Länge der Hypotenuse gleich ${}g$, und wegen der Ähnlichkeit ergibt sich für die Stärke der tangentialen Kraft die Beziehung

${}F_{\operatorname {tang} }(x)=g{\frac {f'(x)}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}}\,.$

Vektoriell handel es sich um die Kraft

$-g{\frac {f'(x)}{1+f'(x)^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\-f'(x)\end{pmatrix}}$

(berechne dessen Norm). Wir setzen die durch die Kraft bewirkte Bewegung (eines Teilchens) auf dem Graphen als

${}h(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\f(x(t))\end{pmatrix}}\,$

an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht.