Funktion/R/x^2-y^2/Auf Nullpunktgerade/Extrema/Aufgabe/Kommentar

Wir machen uns zunächst ein Bild der Funktion. Falls wir die Funktion auf die Gerade ${}y=0$ einschränken, also auf die ${}x$-Achse, so stimmt die Funktion mit der Parabel ${}x^{2}$ überein. Im Nullpunkt liegt dann offenbar ein Minimum vor. Falls wir ${}f$ auf die ${}y$-Achse mit ${}x=0$ einschränken, stimmt ${}f$ mit ${}-y^{2}$ überein, einer nach unten geöffneten Parabel, sodass ein Maximum vorliegt. Andere interessante Geraden durch den Ursprung sind die Diagonalen wie zum Beispiel die Gerade, die durch ${}x=y$ definiert wird. Dort ist ${}f$ konstant Null. Insbesondere ist die Einschränkung von ${}f$ auf diese Diagonale sowohl minimal als auch maximal im Ursprung.

Die Funktion ${}f$ ist ein Polynom, sodass, wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, die Richtungsableitung in jedem Punkt und jede Richtung existiert. Hier untersuchen wir dies im Nullpunkt ${}P=0$ für den Richtungsvektor ${}v=(v_{1},v_{2})$. Für den Differenzenquotienten erhalten wir

${\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}={\frac {f(sv)}{s}}={\frac {(sv_{1})^{2}-(sv_{2})^{2}}{s}}=s(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),$

was im Grenzwert für ${}s\to \infty$ gegen Null konvergiert. Somit verschwindet die Richtungsableitung im Ursprung in jede beliebige Richtung. Die Einschränkung von ${}f$ auf eine beliebige Ursprungsgerade ist eine quadratische Funktion in einer Variablen und besitzt somit ein Extremum im Nullpunkt.

Nach unseren vorherigen Überlegungen teilen die beiden Diagonalen den Raum ${}\mathbb {R} ^{2}$ in die Teile, in denen entweder ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Genauer begründen lässt sich das folgendermaßen. Die Einschränkung von ${}f$ auf die Gerade in Richtung ${}v$ ist

$h_{v}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad s\mapsto f(0+sv)=s^{2}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),$

eine quadratische Funktion in der einen Variablen ${}s$. Dann liegt ein Minimum vor, wenn ${}h_{v}(s)\geq 0$ für ${}s\neq 0$ gilt, also ${}v_{1}^{2}\geq v_{2}^{2}$. Dies ist äquivalent zu ${}\vert v_{1}\vert \geq \vert v_{2}\vert$. Analog ergibt sich, dass bei ${}\vert v_{1}\vert \leq \vert v_{2}\vert$ ein Maximum vorliegt.

Zur kommentierten Aufgabe