Funktion/e hoch -1 durch x ln x/Beschränkt/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {1}{x^{2}}}e^{-{\frac {1}{x}}}\ln x+{\frac {1}{x}}e^{-{\frac {1}{x}}}\\&={\frac {1}{x^{2}}}e^{-{\frac {1}{x}}}{\left(\ln x+x\right)}.\end{aligned}}$

Die beiden linken Faktoren sind stets positiv, der Faktor ${}\ln x+x$ ist streng wachsend, da seine Ableitung ${}{\frac {1}{x}}+1$ positiv ist, und besitzt eine einzige Nullstelle, sagen wir ${}c$. Daher ist ${}f$ unterhalb von ${}c$ streng fallend, besitzt ein lokales Minimum in ${}c$ und ist oberhalb von ${}c$ streng wachsend. Somit ist dieses Minimum ein globales Minimum und ${}f$ ist nach unten beschränkt.

Zur gelösten Aufgabe