Funktion/x^3 durch x^2+y^2/Stetig/Gerade/Richtungsableitung/Differenzierbar/Aufgabe/Lösung

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  1. Für ist

    Für eine gegen konvergente Folge konvergiert auch gegen und damit konvergiert wegen dieser Abschätzung auch die Bildfolge unter der Funktion gegen . Daher liegt Stetigkeit im Nullpunkt vor. An den anderen Punkten liegt eine rationale, also stetige Funktion vor.

  2. Die Gerade sei durch

    mit parametrisiert. Die Einschränkung ist somit

    also linear.

  3. Die Richtungsableitung in Richtung im Nullpunkt hängt nur vom Verhalten der Funktion auf der durch gegebenen Geraden ab. Nach Teil (2) ist dies eine lineare Funktion, so dass die Richtungsableitung existiert.
  4. Nach Teil (2) ist die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung durch gegeben. Die Richtungsableitung in Richtung des ersten Standardvektors ist somit und die Richtungsableitung in Richtung des zweiten Standardvektors ist . Die Richtungsableitung in Richtung ist . Wenn die Funktion total differenzierbar wäre, so würde aber
    gelten.