Funktionenkörper/Fermat-Kubik/Fortsetzung von Operatoren/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}K=k(X,Y)\subseteq k(X,Y)[T]/(T^{3}+X^{3}+Y^{3})=L\,$

über einem Körper ${}k$ der Charakteristik ${}0$. Im Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{L{|}k}$ gilt

${}d(T^{3}+X^{3}+Y^{3})=3T^{2}dT+3X^{2}dX+3Y^{2}dY=0\,.$

Daher ist

${}dT=-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}dX-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}dY\,,$

was explizit einen ${}L$-Isomorphismus

$\Omega _{L{|}k}\longrightarrow LdX\oplus LdY$

ergibt. Für den ${}L$-Modul der ${}k$-Derivationen ergibt sich entsprechend

${}\operatorname {Der} _{k}{\left(L\right)}\cong L\partial _{X}\oplus L\partial _{Y}\,.$

Dabei ist

${}\partial _{X}(T)=-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}\,,$

da ja generell ${}\partial _{X}$ ein Element ${}f\in L$ auf den Koeffizienten zu ${}dx$ von ${}df$ abbildet. Beispielsweise ist somit

${}\partial _{X}(T^{2})=2T\partial _{X}(T)=-2T{\frac {X^{2}}{T^{2}}}=-2{\frac {X^{2}}{T}}\,$

oder

${}\partial _{X}(T^{3})=3T^{2}\partial _{X}(T)=-3T^{2}{\frac {X^{2}}{T^{2}}}=-3X^{2}\,.$

Wegen

${}T^{3}=-X^{3}-Y^{3}\,$

kann man dies auch schon in ${}K(X,Y)$ ausrechnen.

Entsprechend kann man die Wirkungsweise von Differentialoperatoren höherer Ordnung bestimmen. Diese sind ja die Summe von Hintereinanderschaltungen von Derivationen und Multiplikationen. Es ist

${}\operatorname {Diff} _{k}^{n}{\left(k(X,Y)\right)}=\bigoplus _{\nu \,,\vert {\,\nu \,}\vert \leq n}L\partial ^{\nu }\,.$

Betrachten wir den Differentialoperator

${}E=T\partial _{X}\partial _{Y}-Y\partial _{X}^{2}\,.$

Es ist beispielsweise

${}{\begin{aligned}E{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}&={\left(T\partial _{X}\partial _{Y}-Y\partial _{X}^{2}\right)}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}\\&=T\partial _{X}\partial _{Y}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}-Y\partial _{X}^{2}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}\\&=T\partial _{X}\partial _{Y}(YT)-T\partial _{X}\partial _{Y}(XT^{2})-2Y-Y\partial _{X}^{2}(YT)+Y\partial _{X}^{2}(XT^{2})\\&=T\partial _{X}(Y\partial _{Y}(T)+T)-2T\partial _{X}(XT\partial _{Y}(T))-2Y-Y^{2}\partial _{X}(\partial _{X}(T))+Y\partial _{X}(2XT\partial _{X}(T)+T^{2})\\&=...\end{aligned}}$