Funktionenkörper/K(X)/Wurzelaufnahme/Fortsetzung von Operatoren/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung ${}K(X)\subseteq K(Y)$, die durch ${}Y^{n}=X$ ($n\geq 2$) gegeben ist. Es ist also ${}K(Y)=K(X)[Y]/(Y^{n}-X)$. Somit ist ${}nY^{n-1}dY=dX$ bzw. ${}dY={\frac {1}{nY^{n-1}}}dX$ und die partielle Ableitung ${}\partial _{X}$ setzt sich fort auf ${}K(Y)$ mit

${}\partial _{X}(Y)={\frac {1}{nY^{n-1}}}\,.$

Man beachte, dass das Ergebnis nicht im Polynomring ${}K[Y]$ liegt. Es gibt also keine Fortsetzung der Derivation

$\partial _{X}\colon K[X]\longrightarrow K[X]$

auf ${}K[Y]$. Wenn man die Gleichung

${}Y^{n}=X\,$

als

${}Y={\sqrt[{n}]{X}}=X^{\frac {1}{n}}\,$

interpretiert, so ist die obige berechnung eine algebraische Version der analytischen Ableitungsregel

${}\partial _{X}({\sqrt[{n}]{X}})=\partial _{X}(X^{\frac {1}{n}})={\frac {1}{n}}X^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{X^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{X^{\frac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{{\left(X^{\frac {1}{n}}\right)}^{n-1}}}\,.$