Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Die holomorphe Ableitung von ${}f$ ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,.$

2. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man

   ${\operatorname {sup} \,{\left(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}}\right)}}.$

3. Die Differentialform ${}\omega$ heißt exakt, wenn es eine total differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow W$ mit  ${}\omega =d\varphi$  gibt.
4. Eine meromorphe Funktion auf ${}U$ ist gegeben durch eine diskrete Menge  ${}D\subseteq U$  und eine holomorphe Funktion

   $f\colon U\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   derart, dass für jedes  ${}w\in D$  der Limes ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow w}\,f(z)$ in ${}{\mathbb {C} }$ existiert oder gleich ${}\infty$ ist.

5. Das Residuum ist der Koeffizient ${}c_{-1}$ der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ von ${}f$.
6. Eine meromorphe Funktion

   $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   heißt elliptisch bezüglich ${}\Gamma$, wenn

   ${}f(z)=f(z+v)\,$

   für alle  ${}v\in \Gamma$  gilt.

Zur gelösten Aufgabe