Ganze Funktion/C/Bild dicht/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass das Bild von ${}f$ nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ und ein ${}r>0$ derart, dass die offene Kreisscheibe ${}U{\left(P,r\right)}$ disjunkt zum Bild ist. Durch verschieben können wir ${}P=0$ erreichen, es ist dann

${}\vert {f(z)}\vert \geq r\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Die Hintereinanderschaltung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (f(z))^{-1},$

ist ebenfalls holomorph und es gilt

${}\vert {(f(z))^{-1}}\vert \leq {\frac {1}{r}}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$, im Widerspruch zu

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe