Ganze Zahlen/Division mit Rest/Nur Existenz/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}a>0$ fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit ${}q=0$ und ${}r=n=0$. Für den Induktionsschluss sei die Aussage für ${}n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung ${}n=aq+r$ mit ${}r<a$ und müssen eine ebensolche Darstellung für ${}n+1$ finden. Wenn ${}r<a-1$ ist, so ist

${}n+1=aq+r+1\,$

und wegen ${}r+1<a$ ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen ${}r=a-1$, so ist

${}n+1=aq+r+1=aq+a=a(q+1)+0\,,$

und dies ist eine gesuchte Darstellung.

Zur gelösten Aufgabe