Wir müssen zuerst die Wohldefiniertheit überprüfen, da die Verknüpfung unter Bezug auf Repräsentanten erklärt wird und daher nicht von vornherein klar ist, dass unterschiedliche Repräsentanten zum gleichen Ergebnis
(zur gleichen Äquivalenzklasse)
führen. Zu
und
muss man überprüfen, dass
-

und damit
gilt. Die beiden Voraussetzungen bedeuten ausgeschrieben
und
.
Damit ist durch Addition der beiden Gleichungen
-

was die Äquivalenz bedeutet. Die kanonische Abbildung
-
verträgt sich nach Konstruktion mit der Addition auf der Produktmenge und der soeben etablierten Addition auf
, es ist also
-

für alle
. In einer solchen Situation übertragen sich wegen der Surjektivität der kanonischen Abbildung Rechengesetze von
direkt auf die Quotientenmenge. Für das Assoziativgesetz beispielsweise betrachten wir Elemente
. Es gibt
mit
,
,
.
Somit ist

Der Nachweis der Kommutativität und dass
das
neutrale Element
der Verknüpfung ist, verläuft ähnlich einfach. Wegen
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f5374e76e9009d2e2dbd60105b4efe5b036407)
ist in der Tat
das inverse Element zu
.