Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist die Wohldefiniertheit zu zeigen. Es seien also ${}(a,b)\sim (a',b')$ und ${}(c,d)\sim (c',d')$ gegeben, was ${}a+b'=a'+b$ und ${}c+d'=c'+d$ bedeutet. Somit ist auch

$a'(c'+d)+b'(c+d')+d(a+b')+c(a'+b)=a'(c+d')+b'(c'+d)+d(a'+b)+c(a+b')\,.$

Eine direkte Überprüfung zeigt

${}{\begin{aligned}(ac+bd+a'd'+b'c')+a'(c'+d)+b'(c+d')+d(a+b')+c(a'+b)&=(a'c'+b'd'+ad+bc)+a'(c+d')+b'(c'+d)+d(a'+b)+c(a+b')\\\,\end{aligned}}$ Mit der Abziehregel folgt

${}ac+bd+a'd'+b'c'=a'c'+b'd'+ad+bc\,,$

und dies bedeutet

${}[(ac+bd,ad+bc)]=[(a'c'+b'd',a'd'+b'c')]\,,$

also die Wohldefiniertheit. Die Kommutativität folgt direkt aus der Definition der Verknüpfung, ebenso die Eigenschaft, dass ${}[(1,0)]$ das neutrale Element ist. Die Assoziativität ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}([(a,b)][(c,d)])[(e,f)]&=[(ac+bd,ad+bc)]\cdot [(e,f)]\\&=[(ace+bde+adf+bcf,acf+bdf+ade+bce)]\\&=[(a,b)][(ce+fd,de+cf)]\\&=[(a,b)]([(c,d)][(e,f)]).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage