Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Gemischte Vorstellung/Bemerkung

Wie verhalten sich die ganzen Zahlen bezüglich der Zählvorstellung für die natürlichen Zahlen, die wir in der fünften Vorlesung kennengelernt haben? Die richtige Vorstellung ergibt sich, wenn man die Nachfolgerabbildung auf ${}\mathbb {Z}$ fortsetzt, indem man für eine negative Zahl ${}y=-a$ den Nachfolger als das Negative des Vorgängers von ${}a$ definiert, also

{}y^{\prime }=-(a-1)\,

(bei ${}a=1$ ist dies als ${}0$ zu lesen). Die natürlichen Zahlen werden somit auf der Zahlengeraden von ${}0$ aus nach links mit ${}-1,-2,...$ fortgesetzt. Der Nachfolgerschritt ist dann immer noch der eine Schritt nach rechts. Beispielsweise ergeben sich die Reihenfolgen

$...,-{|}{|}{|},-{|}{|},-{|},0,{|},{|}{|},{|}{|}{|}....$
$...,-NNN0,-NN0,-N0,0,N0,NN0,NNN0,....$
$...,{\text{minus drei}},{\text{minus zwei}},{\text{minus eins}},{\text{null}},{\text{eins}},{\text{zwei}},{\text{drei}},....$
$...,-c,-b,-a,0,a,b,c,....$
$...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....$

Es entsteht hier eine Symmetrie am Nullpunkt, wobei die negative Zahl ${}-a$ der positiven Zahl ${}a$ gegenüber liegt. Diese Symmetrie gilt insbesondere auf der Zahlengeraden.

Wenn man die ganzen Zahlen dynamisch als (gleichlange) Schritte nach rechts bzw. nach links (oder nach vorne bzw. nach hinten oder nach oben bzw. nach unten) interpretiert, so sehen die negativen Zahl so „natürlich“ wie die positiven Zahlen aus.

Welche Objekte bzw. Strukturen kann man mit den ganzen Zahlen zählen? Es gibt keine Mengen mit negativ vielen Elementen! Dennoch gibt es viele Situationen, wo man mit ganzen Zahlen sinnvoll zählen kann. Sobald es einen Prozess zusammen mit einem zugehörigen gegenläufigen Prozess gibt, wie etwa einen Schritt nach rechts bzw. einen Schritt nach links zu machen, oder wenn man zwei sehr große Haufen (oder Körbe) an Äpfeln hat, und der Prozess ist, einen Apfel von dem einen Haufen zu dem anderen Haufen zu transportieren (mit dem umgekehrten Transport als dem gegenläufigen Prozess), so kann man die möglichen (hintereinander ausgeführten) Prozesse durch die ganzen Zahlen beschreiben: ${}7$ (oder deutlicher ${}+7$ ) bedeutet ${}7$ Äpfel von Haufen ${}G$ nach Haufen ${}H$ , ${}-3$ bedeutet drei Äpfel von Haufen ${}H$ nach Haufen ${}G$ . Hierbei muss man willkürlich festlegen, welche Prozessrichtung man als positiv ansehen möchte. Auch in der Hauswirtschaft werden die Einnahmen positiv und die Ausgaben negativ verbucht. Damit zusammenhängend werden negative Zahlen häufig als Schulden und positive Zahlen als Guthaben interpretiert.