Ganze Zahlen/Rechengesetze/Textabschnitt

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Die Addition auf erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist

    für beliebige (alle) Zahlen , d.h. die Addition ist assoziativ.

  2. Es ist

    für beliebige Zahlen , d.h. die Addition ist kommutativ.

  3. Es gilt

    für jedes (man sagt, dass das neutrale Element der Addition ist).

  4. Zu jedem besitzt die Eigenschaft

    (man sagt, dass das negative Element zu ist).

Die Multiplikation auf erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist

    für beliebige (alle) Zahlen , d.h. die Multiplikation ist assoziativ.

  2. Es ist

    für beliebige Zahlen , d.h. die Multiplikation ist kommutativ.

  3. Es gilt

    für jedes (man sagt, dass das neutrale Element der Multiplikation ist).

Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte Distributivgesetz miteinander verbunden. Dieses besagt

für alle .

Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl eine ganze Zahl teilt (oder dass ein Teiler von ist oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine weitere ganze Zahl gibt mit . Beispielsweise ist ein Teiler von , aber ist kein Teiler von . Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von ist, eine ungerade Zahl ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von ist. Wenn ein Teiler von ist, so verwenden wir die Bezeichnung für diejenige (eindeutig bestimmte) ganze Zahl , für die die Gleichheit gilt.

Auf den ganzen Zahlen ist auch die Größer/Gleich-Beziehung (oder Ordnungsbeziehung) definiert. Man schreibt , wenn mindestens so groß wie ist. Eine ganze Zahl ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn ist. Die Beziehung gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl mit gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen  :

  1. Es ist (dies nennt man die Reflexivität der Ordnung).
  2. Aus und folgt (dies nennt man die Transitivität der Ordnung).
  3. Aus und folgt (dies nennt man die Antisymmetrie der Ordnung).
  4. Aus folgt (dies nennt man die Additivität der Ordnung).
  5. Aus und folgt (dies nennt man die Multiplikativität der Ordnung).
  6. Aus und (also negativ) folgt .

Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um.