Ganzzahlige Exponentialfunktion/1,03/Vergleich mit Quadrat/Aufgabe/Lösung

Mit dem allgemeinen binomischen Lehrsatz ist

${}{\begin{aligned}1{,}03^{n}&=(1+0{,}03)^{n}\\&=1+n\cdot 0{,}03+{\binom {n}{2}}0{,}03^{2}+{\binom {n}{3}}0{,}03^{3}+\ldots \\&\geq {\binom {n}{3}}0{,}03^{3}\\&={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\cdot {\frac {27}{1000000}}\\&=n^{2}\cdot {\left({\frac {(n-1)(n-2)}{6n}}\cdot {\frac {27}{1000000}}\right)}.\end{aligned}}$

Dies soll ${}\geq n^{2}$ werden, was man dadurch erreichen kann, dass der Klammerausdruck rechts ${}\geq 1$ wird. Dieser Ausdruck ist

${}{\begin{aligned}{\frac {(n-1)(n-2)}{6n}}\cdot {\frac {27}{1000000}}&={\frac {n^{2}-3n+2}{n}}\cdot {\frac {9}{2000000}}\\&={\left(n-3+{\frac {2}{n}}\right)}\cdot {\frac {9}{2000000}}\\&\geq {\left(n-3\right)}\cdot {\frac {9}{2000000}}.\end{aligned}}$

Die Bedingung

${}{\left(n-3\right)}\cdot {\frac {9}{2000000}}\geq 1\,$

wird zu

${}n\geq {\frac {2000000}{9}}+3\,,$

was jedenfalls bei

${}n\geq 300000\,$

erfüllt ist. Man kann also beispielsweise

${}m=300000\,$

nehmen.

Zur gelösten Aufgabe