Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch/Grenzverhalten/Fakt

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und  ${}b\in K_{+}$  ein positives Element ${}\neq 1$ und

$\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

die zugehörige (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis ${}b$. Es seien  ${}M\in K$  und ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, vorgegebene Zahlen.

Dann gibt es eine ganze Zahl  ${}n\in \mathbb {Z}$  mit

${}\varphi _{b}(n)\geq M\,$

und eine ganze Zahl  ${}m\in \mathbb {Z}$  mit

${}\varphi _{b}(m)\leq \epsilon \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen