Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\left(s_{J}\right)}_{J}\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ ein Tupel. Dann ist für die fixierte Indexmenge ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k},i_{k+1},i_{k+2}\}$

${}{\begin{aligned}(\delta (\delta s))_{L}&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}(\delta s){|}_{L\setminus \{i_{p}\}}\\&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}{\left(\sum _{q=0}^{p-1}(-1)^{q}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}+\sum _{q=p+1}^{k+1}(-1)^{q+1}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}\right)}\\&=\sum _{\{i_{p},i_{q}\}\subseteq J}(-1)^{p+q}{\left(s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}-s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

Man beachte, dass das Vorzeichen in der Klammer von der Position von ${}i_{q}$ in ${}L\setminus \{i_{p}\}$ abhängt.

Zur bewiesenen Aussage