Gaußklammer/Bruchanteil/Gleich/Aufgabe/Lösung

Es sei  $x-\lfloor x\rfloor =y-\lfloor y\rfloor$.  Da $\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist  $n=\lfloor y\rfloor -\lfloor x\rfloor$  ganzzahlig. Damit gilt

$\begin{array}{cc}y& =\lfloor y\rfloor +(y-\lfloor y\rfloor )\\ & =\lfloor y\rfloor +(x-\lfloor x\rfloor )\\ & =x+\lfloor y\rfloor -\lfloor x\rfloor \\ & =x+n.\end{array}$

Es sei nun $y=x+n$ mit $n\in \mathbb{Z}$. Aus der definierenden Beziehung

$\lfloor x\rfloor \le x<\lfloor x\rfloor +1$

folgt

$\lfloor x\rfloor +n\le x+n<\lfloor x\rfloor +n+1,$

daher muss

$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$

sein. Somit ist

$\begin{array}{cc}y-\lfloor y\rfloor & =x+n-\lfloor x+n\rfloor \\ & =x+n-(\lfloor x\rfloor +n)\\ & =x-\lfloor x\rfloor .\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe