Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Darstellung mit Quadraten/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}a$ teilerfremd zu ${}p$ ist, werden in ${}\zeta ^{ar}$ sämtliche Einheitswurzeln durchlaufen. Daher ist

{}\sum _{r=0}^{p-1}\zeta ^{ar}=0\,

nach Aufgabe. Es ist daher

{}{\begin{aligned}g_{a}&=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r=0}^{p-1}\zeta ^{ar}+\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r=0}^{p-1}{\left(1+\left({\frac {r}{p}}\right)\right)}\zeta ^{ar}\\&=\sum _{r{\text{ ist Quadrat in }}\mathbb {Z} /(p)}{\left(1+\left({\frac {r}{p}}\right)\right)}\zeta ^{ar}\\&=\sum _{s=0}^{p-1}\zeta ^{as^{2}},\end{aligned}}

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass ${}r=s^{2}$ für ${}r=0$ eine Lösung und für quadratische Einheiten zwei Lösungen besitzt.