Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe/Lösung

Wir setzen ${}a=7+4{\mathrm {i} }$ und ${}b=5+3{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest ${}a/b$ durch. Es ist (in ${}{\mathbb {C} }$ oder in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$)

${}{\frac {a}{b}}={\frac {7+4{\mathrm {i} }}{5+3{\mathrm {i} }}}={\frac {(7+4{\mathrm {i} })(5-3{\mathrm {i} })}{(5+3{\mathrm {i} })(5-3{\mathrm {i} })}}={\frac {47-{\mathrm {i} }}{34}}={\frac {47}{34}}-{\frac {1}{34}}{\mathrm {i} }\,.$

Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist ${}1$, sodass die Division mit Rest ergibt:

$a=1\cdot b+r{\text{ mit }}r=a-b=2+{\mathrm {i} }.$

Die nächste durchzuführende Division ist somit

${}{\frac {b}{r}}={\frac {5+3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+3{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}{(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })}}={\frac {13+{\mathrm {i} }}{5}}={\frac {13}{5}}+{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }\,.$

Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist ${}3$, sodass die Division mit Rest ergibt:

$b=3\cdot r+s{\text{ mit }}s=b-3r=5+3{\mathrm {i} }-3(2+{\mathrm {i} })=-1.$

Da dies eine Einheit ist, sind ${}a=7+4{\mathrm {i} }$ und ${}b=5+3{\mathrm {i} }$

teilerfremd.

Zur gelösten Aufgabe