Gaußsche Zahlen/Norm ist euklidische Funktion/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$,   ${}z\neq 0$.  Wir betrachten den Quotienten

${}{\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also  ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$.  Es gibt ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2}$ mit  ${}\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$.  Damit ist

${}q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$

mit  ${}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.  Ferner ist

${}{\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\&<1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}z$ ergibt

${}w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.$

Der rechte Summand gehört dabei zu ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, da man ihn als ${}w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt

$N\left(z\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)\right)=N(z)N\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)<N(z)\,.$

Zur bewiesenen Aussage