Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7+i

Primfaktorzerlegung von $7+i$ in $\mathbb {Z} [i]$:

$N(7+i)=(7+i)(7-i)=50=2\cdot 5^{2}=2^{1}\cdot (2+i)^{2}(2-i)^{2}$

$2+i$ und $2-i$ sind prim, weil $N(2+i)=N(2-i)=5$ prim in $\mathbb {Z}$

Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $7+i$ teilen lässt:

${\frac {7+i}{(2+i)^{2}}}={\frac {7+i}{3+4i}}={\frac {(7+i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}}={\frac {25-25i}{25}}=1-i=-i(1+i)$

$\Rightarrow 7+i=-i(1+i)\cdot (2+i)^{2}$

Wobei $1+i$ und $2+i$ prim sind und $-i\in \mathbb {Z} [i]^{\times }$.