Gebiet/Differentialform/Auswertung/Komplex/Holomorphe Abbildung/Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ Gebiete und sei

\varphi \colon U\longrightarrow V

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(V,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \varphi ^{*}\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}

vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und von Differentialformen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.