Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Auswertung/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass

$\pi _{1}(U,P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),$

ein Gruppenhomomorphismus ist, und dass dieser einen Gruppenhomomorphismus

$\Theta _{f}\colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0),$

definiert.

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