Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Gesamtauswertung/Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $\Theta \colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(G,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)},\,f\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)\right)},$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Wenn ${}f$ die Form  ${}f=\exp h$  mit einer holomorphen Funktion ${}h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ besitzt, so ist  ${}\Theta _{f}=0$. 
3. Die Abbildung aus (1) induziert eine Abbildung

   $\Theta \colon \Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }/\Gamma (U,{\mathcal {O}})_{\text{exp}}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(G,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)},\,f\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \operatorname {ind} _{f\circ \gamma }(0)\right)},$

   wobei ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})_{\text{exp}}^{\times }$ die exponentiellen Einheiten bezeichnet.

4. Die Abbildung aus (3) ist injektiv.

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