Gebiet/Holomorphe Einheit/Windungszahl/Homologie/Komplex/Holomorphe Abbildung/Aufgabe

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ Gebiete und sei

\varphi \colon U\longrightarrow V

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (V,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(V,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})&{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}&\Gamma (U,{\mathcal {O}})^{\times }&{\stackrel {\Theta }{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} \right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}

vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.