Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}\sum _{n=0}^{\infty }(a+bt)^{\ell }t^{\ell }=1+(a+bt)t+(a+bt)^{2}t^{2}+\ldots =1+at+\ldots \,$

stimmen die Anfangsgleichungen. Der Koeffizient zu ${}t^{m}$ ergibt sich aus der Summation der Summanden von ${}(a+bt)^{\ell }t^{\ell }$, die insgesamt zu ${}t^{m}$ beitragen. Dazu muss ${}{\frac {m}{2}}\leq \ell \leq m$ sein und vom vorderen Faktor muss man ${}{\binom {\ell }{m-\ell }}a^{2\ell -m}b^{m-\ell }$ nehmen. Dies ergibt

${\binom {m}{0}}a^{m}+{\binom {m-1}{1}}a^{m-2}b+{\binom {m-2}{2}}a^{m-4}b^{2}+{\binom {m-3}{3}}a^{m-6}b^{3}+\cdots +{\binom {\frac {m}{2}}{\frac {m}{2}}}b^{\frac {m}{2}}$

bei ${}m$ gerade, bei ${}m$ ungerade ist der letzte Summand gleich ${}{\binom {\frac {m+1}{2}}{\frac {m-1}{2}}}ab^{\frac {m-1}{2}}$. In beiden Fällen kann man diese Summe als

$\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-j}{j}}a^{m-2j}b^{j}$

schreiben. Diese Darstellung gilt auch bei ${}m=0,1$. Mit diesen Darstellungen ergibt sich (für ${}m\geq 2$) unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}ac_{m}+bc_{m-1}&=a{\left(\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-j}{j}}a^{m-2j}b^{j}\right)}+b{\left(\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-1-j}{j}}a^{m-1-2j}b^{j}\right)}\\&=\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-j}{j}}a^{m+1-2j}b^{j}+\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-1-j}{j}}a^{m-1-2j}b^{j+1}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-k}{k}}a^{m+1-2k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m-k}{k-1}}a^{m+1-2k}b^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor }{\left({\binom {m-k}{k}}+{\binom {m-k}{k-1}}\right)}a^{m+1-2k}b^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor }{\binom {m+1-k}{k}}a^{m+1-2k}b^{k}\\&=c_{m+1}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe