Gerade Funktion/Stetig/Kein lokales Extremum/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,.$

Diese Funktion ist stetig, was für ${}x\neq 0$ klar ist und für ${}x=0$ daraus folgt, dass der Kosinus beschränkt ist und daher der Limes von ${}x^{2}\cos {\frac {1}{x}}$ für ${}x\rightarrow 0$ gleich ${}0$ ist. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt

${}f(-x)=(-x)^{2}\cos {\frac {1}{-x}}=x^{2}\cos \left(-{\frac {1}{x}}\right)=x^{2}\cos {\frac {1}{x}}=f(x)\,,$

also ist ${}f$ gerade. Im Nullpunkt liegt kein lokales Extremum vor, da an den Stellen

${}x={\frac {1}{2n\pi }}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Funktion positive und an den Stellen

${}y={\frac {1}{(1+2n)\pi }}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$

die Funktion negative Werte besitzt, und diese Stellen beliebig nahe an der ${}0$ liegen.

Zur gelösten Aufgabe