Geradenbüschel/Richtungsableitungen/Beispiel

Es sei  $S^1\subseteq {ℝ}^2$  der Einheitskreis und

$\psi :S^1⟶ℝ$

eine Funktion mit der Eigenschaft

$\psi (-P)=-\psi (P).$

Mit dieser Funktion definieren wir

$\phi :{ℝ}^2⟶ℝ$

durch

$\phi (x,y):=\{\begin{array}{c}\sqrt{x^2+y^2}\cdot \psi \left(\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\text{ für }(x,y)\ne 0,\\ 0\text{ sonst}.\end{array}$

Der Graph dieser Funktion besteht aus einem Büschel von Geraden durch den Nullpunkt. Insbesondere existieren im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen. Da man aber $\psi$ willkürlich vorgeben kann, haben die Richtungsableitungen nichts miteinander zu tun.