Getränkepong

Zielsetzung

Wie muss ein Tischtennisball geworfen werfen um einen Becher zu treffen

Einführung

GetränkePong spielt man am besten mit 4 Personen (2 gegen2).

Hier Ist das Ziel mit einem Tischtennisball gegnerische Becher im gegnerischen Feld zu treffen. Diese Becher sind mit Getränke gefüllt. Trifft ein Team ein Becher des gegnerischen Teams, so muss dieses Team den Becher austrinken. Ziel ist es alle Becher von Gegner zu treffen.

In der Regel wird während des Spiels Alkohol konsumiert bzw. der Verlierer muss zur Strafe konsumieren und es gibt kein Scoreboard.

Man kann aber auch alkoholfreie Getränke konsumieren.

Durch das zusammenspielen von mehreren Parteien werden demnach folgende SDG erfüllt:

• SDG 5: Gender Equality
• SDG 10: Reduced Inequalities
• SDG 17: Partnerships for the Goals

Zu dem ist es im Leben gesundheitlich von Vorteil eine ausreichende Hand-Augen-Koordination zu besitzen. Dieses Spiel trainiert Timing des Loslassens und die angemessene Wurfkraft des Tischtennisballs, um diese in den Becher zu befördern.

• SDG 3: Good Health and Well-bein

Modellierungsthema

In der hier durchgeführten Modellierung sollen die Faktoren eines erfolgreichen Wurfes behandelt werden. Hier wird vor allem der Winkel des abgeworfenen Balls und das ballistische Verhalten des Tischtennisballes analysiert.

Für die Modellierung wird der Becher an der gegenüberliegenden Kante gestellt.

Faktoren eines erfolgreichen Wurfes

• Geschwindigkeit mit der man den Tischtennisball wirft
• Höhe von dem der Tischtennisball abgeworfen wird
• Elastizität des Tischtennisballs

Niveau Überblick

Sek I

- Pythagoras

- Trigonometrie

Sek II

- Kurvendiskussion

- Parabel

- Winkelberechnung

- Parabelschar

Uni-Niveau

- Differentialgleichung

- Äußere Faktoren

Feste Faktoren

Der Tisch

Länge 240 cm

Breite 60 cm

Höhe 70 cm

Der Ball

Durchmesser 4 cm

Gewicht 2,7 g

Der Becher

Höhe 10,6 cm

Öffnung Durchmesser 9,6 cm

Der Abwurf

Wir gehen davon aus, dass man den Ball in Höhe der eigenen Körpergröße abwirft, weil man dadurch eine bessere Chance hat den Becher zu treffen und den Becher stets im Blick hat.

Modellierungszyklen

Sek I

Zyklus 1

Ermittlung des flachsten Einfallswinkels des Balls.

Wir betrachen den Winkel eines direkten Treffers.

Hier nehmen wir die Trigonometrie zur Hilfe.

Man besitzt den Durchmesser des Balls und verwendet diese als eine der Katheten und verwendet die Öffnung des Becher als Hypotenuse.

$arc({\frac {4}{9,6}})\approx 24^{\circ }$

Mithilfe Geogebra wird das Problem visualisiert.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird ermittelt, wie weit der Ball vom Mittelpunkt des Bechers abweichen darf.

Dies finden wir zunächst heraus, indem wir vom Radius des Korbes den Radius des Balls subtrahieren.

Also

$9,6cm-4cm=5,6cm$

Wie beinflusst dies nun den Wurf?

Von oben betrachtet kann man eine gerade Linie zwischen dem Werfer und der Korbmitte ziehen. Wir wollen nun bestimmen um wie viel Grad der Wurf von dieser idealen Linie abweichen kann.

Den Abweichungswinkel zur optimalen Linie erhalten wir folglich aus dem Arcus Tanges der beiden Katheteten.

$arctan(5,6cm/240cm)=1,337^{\circ }$

Somit kann man mit einer Abweichung von ca 1,337° immer noch den Becher treffen.

Sek II

Zyklus 1

Im ersten Zyklus behandeln wir den Positionswurf des Balls mit minimalem Kraftaufwand und den dazugehörigen Abwurfwinkel.

Hier geben wir den Abstand (240 cm) die Höhe des Bechers (10,6 cm) also auch die Abwurfhöhe (100 cm) an.

Des Weiteren übernehmen wir den minimalen Einfallswinkel aus dem vorherigen Modellierungszyklus.

Die Abwurfhöhe ergibt sich aus der Subtraktion der Spielergröße und der Tischhöhe.

Somit haben wir folgende Bedingungen gegeben:

-Polynom 2. Grades

-$f(0)=100$

-$f(240)=10,6$

-$f'(240)=-tan(24)$

mit

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

und

$f'(x)=2ax+b$

somit folgt das kommende Gleichungssystem:

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=100$

$II)f(240)=a*240^{2}+b*240+c=10,6$

$III)f'(240)=2a*240+b=-tan(24)$

Hier folgt nun

$a={\frac {-31}{96000}}$

$b={\frac {-59}{200}}$

$c=100$

Somit erhalten wir die folgende Funktion:

$f(x)={\frac {-31}{96000}}x^{2}*{\frac {-59}{200}}x+100$

$f'(x)={\frac {-62}{96000}}x*{\frac {-59}{200}}$

Nun müssen wir nur noch die Tangente an der Stelle

$f(0)=100$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen muss man die Steigung an der Stellle 0 bestimmen.

Also

$f'(0)={\frac {-59}{200}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel ca.

$\alpha =arctan({\frac {-59}{200}})\approx -16,4^{\circ }$

Ergebnis

Abwurfwinkel	Eintrittswinkel	Funktion	Abwurfhöhe vom Boden (Höhe ab dem Tisch)
$-16,4^{\circ }$	$24^{\circ }$	$f(x)={\frac {-31}{96000}}x^{2}*{\frac {-59}{200}}x+100$	$170cm$ $(100cm)$

Zyklus 2

Da nun nicht jeder Mensch gleichgroß ist, werden wir die Abwurfhöhe variieren und den dazugehörigen Abwurfwinkel ermitteln.

Zu dem stellt sich nicht jeder Spieler extakt mittig des Spieltisches, sondern bewegt sich auch gerne nach links oder nach rechts.

Der Eintrittswinkel in den Becher bleibt wie oben gleich.

Um die Distanz zwischen Spieler und Becher ermitteln wendet man hier den Pythagoras an.

Wir besitzen folgende Bedingung:

- w Distanz zwischen Spieler und Becher

- a Distanz der gegenüberliegenden Mittelpunkte

- b varriernde Position des Spielers = [0,30]

$w^{2}=a^{2}+b^{2}$

$w={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$w={\sqrt {240^{2}+b^{2}}}$

somit kommen bekommen wir folgende Daten

Für die Abwurfhöhe bzw. der Weite besitzen wir folgende Bedingungen:

- Polynom 2. Grades

-$f(0)=h$

$h=[80,120]$

-$f(w)=10,6$

-$f'(w)=-tan(24)$

mit

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

und

$f'(x)=2ax+b$

somit folgt das kommende Gleichung

$I)f(0)=a*0^{2}++b*0+c=h$

$II)f(w)=a*w^{2}+b*w+c=10,6$

$III)f'(w)=2a*w+b=-tan(24)$

Nun folgt hier

$a={\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}$

$b={\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}$

$c=h$

Somit erhalten wir folgende Funktionenscharen

$f(x)={\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}x^{2}+{\frac {10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}x+h$

$f'(x)=2*{\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}x+{\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen muss man die die Steigung an der Stelle 0 berechnen

$f'(x)={\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel folgendermaßen

$\alpha =arctan{\biggl (}{\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}{\biggr )}$

Ergbnis

Abwurfwinkel	Eintrittswinkel	Funktion	Abwurfhöhe (Höhe ab dem Tisch)	Distanz zwischen Werfer und Becher
$\alpha =arctan{\biggl (}{\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}{\biggr )}$	$24^{\circ }$	$f(x)={\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}x^{2}+{\frac {10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}x+h$	$70cm+h$ $h=[80,120]$ $(70cm)$	$w={\sqrt {240^{2}+b^{2}}}$ $b=[0,30]$

Universitäts-Niveau

Zyklus 1

Wir versuchen mithilfe des schrägen Wurfs nun die perfekte Abwurfgeschwindigkeit zu ermitteln.

Im ersten Zyklus vernachlässigen wir die Rotation als auch den Luftwiderstand des Balls während des Flugs.

In diesem Zyklus wollen wir den perfekten Abwurfwinkel bestimmen, sodass die Abwurfgeschwindigkeit und die dahinter steckende Kraft des Werfers möglichst minimal bleibt. Bei der Ermittlung wurde sowohl der Abstand vom Becher als auch die Körpergröße des Spielers berücksichtigt, sodas bei jeder Körpergröße der perfekte Abwurfwinkel bestimmt werden kann.

Wir variieren hier den Winkel zwischen 0° und -30°, da alle anderen Winkel unrealistisch wirken.

Der schräge Wurf

Wir spalten die RIchtungskomponenten in zwei Teilrichtungen auf.

• horizontal: $v_{x0}=v_{0}*cos(\alpha )$

• vertikal: $v_{y0}=v_{0}*sin(\alpha )$

Daraus ergeben sich folgende Ortskomponenten:

• horizontal: $x(t)=v_{0}t*cos(\alpha )$
• vertikal: $y(t)=v_{0}t*sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}t^{2}+y_{0}$

Demnach lautet die vektorielle Bahngleichung

${\vec {r}}(t)={\binom {x(t)}{y(t)}}={\binom {v_{0}t*cos(\alpha )}{y_{0}+v_{0}t*sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}t^{2}}}$

Nun lösen wir die horizontale Ortsgleichung nach t auf und erhalten somit

$t={\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}}$

Nun setzen wir $t$ in die vertikale Ortsgleichung ein, um die explizite Bahngleichung im Ortsraum zu erhalten

$y(x)=v_{0}({\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}})sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}({\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}})^{2}\Longleftrightarrow y(x)=({\frac {x}{cos(\alpha )}})sin(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}\Longleftrightarrow y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}+y_{0}$

Also

$y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}+y_{0}$

Wir wollen ebenfalls in unserem Modell die Abwurfgeschwindigkeit optimieren. Deswegen stellen wir unsere $y(x)$- Gleichung auf $v$ um:

${\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}=x*tan(\alpha )+y_{0}-y\Longleftrightarrow {\frac {1}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}={\frac {x*tan(\alpha )+y_{0}-y}{gx^{2}}}\Longleftrightarrow {\frac {1}{v_{0}^{2}}}={\frac {tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}}}{gx}}*2cos(\alpha )^{2}\Longleftrightarrow v_{0}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}})}}}$

Also

$v_{o}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}})}}}$

Somit besitzen wir folgende Formeln

explizite Bahnkurve	Abwurfgeschwindigkeit
$y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}+y_{0}$	$v_{o}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}})}}}$

Die Größe der Spieler variiert hier zwischen 150 cm und 200 cm

Fazit

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich der Abwurfwinkel zwischen zwischen 32° und 37° bewegen. (Je nach Größe)

Zyklus 2

Flugbahn des Balls mit Luftwiderstand

Wie verändert sich die Strecke, wenn man den Luftwiderstand betrachtet?

Wir verwenden das Modell der Newtonischen Reibung um die Luftwiderstandskraft zu ermitteln.

Diese Kraft wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Tischtennisballs. Des Weiteren wirkt die Gravitationskraft stets senkrecht nach unten.

Somit besitzen wir folgende Bedingungen:

Gravitationskraft

$F_{G}=m*g$

$F_{G}=0,0027g*9,81{\frac {m}{s^{2}}}=0,026N$

m: Masse des Tischtennisballs g: Erdbeschleunigung

Luftwiderstandskraft

$F_{L}={\frac {c_{W}*A*p*v^{2}}{2}}$

$F_{L}={\frac {0,2*0,001m^{2}*1,2{\frac {kg}{m^{3}}}*v}{2}}$

$c_{W}:$Widerstandsbeiwert A: Querschnittsfläche p: Dichte der Luft v: Geschwindigkeit des Balls

Die Luftwiderstandskraft wirkt in x- als auch y-Richtung.

Wir betrachten die Kräfte nun in beide Richtungen.

$I)m*a_{x}=-F_{Lx}$

$II)m*ay=-F_{Ly}-F_{G}$

Bekannt aus der Physik ist, dass die Beschleunigung die Stammfunktion der Geschwindigkeit ist so folgt

$I)m*{\frac {dv_{x}}{dt}}=-F_{L}*cos(\alpha )$

$II)m*{\frac {dv_{y}}{dt}}=-F_{L}*sin(\alpha )-F_{G}$

Mit $sin(\alpha )={\frac {v_{y}}{v}}$ und $cos(\alpha )={\frac {v_{x}}{v}}$setzen wir in die Kräfte-Gleichung ein.

Zu wird die Konstante ${\frac {c_{w}*A*p}{2}}=k$ ersetzt.

Dann folgt:

$I)m*{\frac {dv_{x}}{dt}}=-k*v^{2}*{\frac {v_{x}}{v}}=-k*v*v_{x}$

$II)m*{\frac {dv_{y}}{dt}}=-k*v^{2}*{\frac {v_{y}}{v}}-m*g=-k*v*v_{y}-m*g$

Die Geschwindigkeit ist hier der Zeit abhängig.

Zu dem setzen wir für $v(t)={\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}$

$I)m*{\frac {d}{dt}}v_{x}(t)=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)$

$II)m*{\frac {d}{dt}}v_{y}(t)=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g$

bringt man nun das m auf eine Seite gilt:

$I){\frac {d}{dt}}v_{x}(t)={\frac {-k}{m}}*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)$$II){\frac {d}{dt}}v_{y}(t)={\frac {-k}{m}}*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-g$

Dieses System lässt sich nun nicht mehr mit analytisch lösen, deshalb greifen wir hier auf das Euler-Verfahren zurück.

Hier wird die Zeit t in viele kleine Zeitabschnitte $\Delta t$ unterteilt. Nun wird davon ausgegangen, dass die Beschleunigung während dieser kleinen Zeitabschnitte konstant bleibt. Wir berechnen also v(t) und x(t) iterativ. Je kleiner wir die Schrittweite wählen, desto genauer wird unser Resultat.

$v_{n+1}=v_{n}+a_{n}*\Delta t$

$x_{n+1}=x_{n}+v_{n}*\Delta t$

Konkret, für unseren Fall heißt das für die Geschwindigkeit

In x-Richtung

$v_{xNeu}=v_{xAlt}+{\frac {-k}{m}}*{\sqrt {v_{xAlt}^{2}+v_{yAlt}^{2}}}*v_{xAlt}*\Delta t$

und

in y-Richtung

$v_{yNeu}=v_{yAlt}+({\frac {-k}{m}}*{\sqrt {(v_{xAlt}^{2}+v_{yAlt}^{2})}}*v_{yAlt}-g)*\Delta t$

mit $v_{0}={\sqrt {(v_{xAlt}^{2}+v_{yAlt}^{2})}}$

Wobei $v_{Alt}$ jeweils die Werte aus der vorherigen Kalkulation meint und zu Beginn die Startwerte.

Man hat nun also

• Startwert für $(x_{o}/y_{o})=(0/1)$ für die Körpergröße von 1,7m (Abwurfpunkt)

• Startwert für $v_{0}=4,044{\frac {m}{s}}$ (Abwurfgeschwindigkeit in Gesamt)

• Winkel ab dem Abwurfpunkt $\alpha =35^{\circ }$

Somit ergibt sich Komponentenweise die Anfangsgeschwindigkeiten

• in x-Richtung

$v_{0x}=v_{0}*cos(\alpha )=3,3127{\frac {m}{s}}$

• in y-Richtung

$v_{0y}=v_{0}*sin(\alpha )=2,315{\frac {m}{s}}$

• Wir wählen die Schrittweite $\Delta t=0,01s$
• Abwurfhöhe wird hier festgewählt (1,7 m Körpergröße und 1m Abwurfhöhe)
  

Wie viele Sekunden benötig der Ball bis in die Becheröffnung und wie ist die Ortskurve?

Diese Berechnung wird nun so viele Male wiederholt bis die gewünschte Zeit t durchlaufen ist.

Es gilt $v={\frac {s}{t}}$

Für den Ort gilt also analog

$x_{Neu}=x_{Alt}+v_{xAlt}*\Delta t$

$y_{Neu}=y_{Alt}+v_{yAlt}*\Delta t$

Fazit

Der Ball trifft den Becher trotz der Luftreibung.

Zyklus 3

Das Spiel wird nicht nur im Haus, sondern kann auch im freien gespielt werden. Im Freien herschen zusätzliche Bedingungen, die die Wurfkurve beieinflussen.

Wir betrachten den Wurf nun mit Gegenwind und beobachten bei welcher Windgeschwindigkeit der Ball den Becher nicht mehr trifft. Somit wird folgende Modellierung betrachtet.

Flugbahn eines Balls mit Luftwiderstand und Wind

Auf einigen Videos im Internet, kann man beobachten, dass durch den Gegenwind der Ball fast wieder zu dem Werfer kommt.

Der Ball ändert durch den starken Gegenwind auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in x-Richtung und trifft mit negativer Geschwindigkeit vx wieder zum Abwurfort zurück.

Der waagrechte Wind w kann relativ einfach in das DGL-system integriert werden, indem die x-Komponente der Geschwindigkeit um den Windanteil w vergrößert/vermindert wird. Im Folgenden wird das Szenario aus Zyklus 2 gewählt mit folgenden Daten und DGL-System:

$I)m*{\frac {d}{dt}}v_{x}(t)=-k*{\sqrt {(v_{x}(t)+w)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*(v_{x}(t)+w)$

$II)m*{\frac {d}{dt}}v_{y}(t)=-k*{\sqrt {(v_{x}(t)+w)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g$

• Abwurfgeschwindigkeit: $v_{0}=4,044{\frac {m}{s}}$
• Abwurfwinkel: $\alpha =35^{\circ }$
• Abwurfhöhe: $1m$ also die Koordinate $(x_{0}/f(x_{0}))=(0/1)$ (somit die Körpergröße 1,7 m dargestellt)
• Zeitintervall: $0,01s$
• Masse des Tischtennisballs: $2,7g$
• Gravitationskraft: $9,81{\frac {m}{s^{2}}}$
• Becherhöhe: $0,106m$
• Gegenwind-/Rückenwind: $10{\frac {km}{h}};5{\frac {km}{h}};-1{\frac {km}{h}}$

Man berechne es wie oben mit dem selben Prinzip nur das wir der x Komponete den Rücken-/Gegenwind dazu addieren:

$v_{n+1}=v_{n}+a_{n}*\Delta t$

Also

die Geschwindigkeit in x-Richtung

$v_{xNeu}=v_{xAlt}+w+{\frac {-k}{m}}*{\sqrt {(v_{xAlt}+w)^{2}+v_{yAlt}^{2}}}*(v_{xAlt}+w)*\Delta t$

die Geschwindigkeit in y-Richtung

$v_{yNeu}=v_{yAlt}+({\frac {-k}{m}}*{\sqrt {(v_{xAlt}+w)^{2}+v_{yAlt}^{2})}}*v_{yAlt}-g)*\Delta t$

Somit kann man die resultierende Geschwindigkeit $v_{0}$ mithilfe des Pythagoras berechnen.

Also:

$v_{0}={\sqrt {v_{yAlt}^{2}+v_{xAlt}^{2}}}$

Und können somit die Geschwindigkeit und deren resultierenden Strecke berechnen.

${\displaystyle }$