Getrennte Variablen/y' ist t^2 durch y/y(4) ist 5/Aufgabe/Lösung

a) Wir setzen ${}g(t)=t^{2}$ und ${}h(y)={\frac {1}{y}}$. Eine Stammfunktion von ${}g(t)$ ist ${}G(t)={\frac {1}{3}}t^{3}$ und eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h(y)}}=y$ ist

${}H(y)={\frac {1}{2}}y^{2}\,.$

Die Umkehrfunktion von ${}H$ ist

${}H^{-1}(z)={\sqrt {2}}{\sqrt {z}}\,.$

Daher ist

${}y(t)={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}t^{3}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot t^{\frac {3}{2}}\,$

eine Lösung der Differentialgleichung.

b) Wir machen den Ansatz ${}H(y)={\frac {1}{2}}y^{2}+c$ mit der Umkehrfunktion

${}H^{-1}(z)={\sqrt {2z-2c}}\,,$

was zur Lösung(sschar)

${}y(t)={\sqrt {{\frac {2}{3}}t^{3}-2c}}\,$

führt. Aus

${}5=y(4)={\sqrt {{\frac {2}{3}}4^{3}-2c}}\,$

folgt

${}{\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {2}{3}}4^{3}-25\right)}\\&={\frac {128-75}{6}}\\&={\frac {53}{6}}\end{aligned}}$

Also ist

${}y(t)={\sqrt {{\frac {2}{3}}t^{3}-{\frac {53}{3}}}}\,$

die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe