Getrennte Variablen/y' ist t^2 durch y/y(4) ist 5/Aufgabe/Lösung

a) Wir setzen $g(t)=t^2$ und $h(y)=\frac{1}{y}$. Eine Stammfunktion von $g(t)$ ist $G(t)=\frac{1}{3}{t}^3$ und eine Stammfunktion von $\frac{1}{h(y)}=y$ ist

$H(y)=\frac{1}{2}{y}^2.$

Die Umkehrfunktion von $H$ ist

$H^{-1}(z)=\sqrt{2}\sqrt{z}.$

Daher ist

$y(t)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{3}{t}^3}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t^{\frac{3}{2}}$

eine Lösung der Differentialgleichung.

b) Wir machen den Ansatz $H(y)=\frac{1}{2}{y}^2+c$ mit der Umkehrfunktion

$H^{-1}(z)=\sqrt{2z-2c},$

was zur Lösung(sschar)

$y(t)=\sqrt{\frac{2}{3}{t}^3-2c}$

führt. Aus

$5=y(4)=\sqrt{\frac{2}{3}{4}^3-2c}$

folgt

$\begin{array}{cc}c& =\frac{1}{2}(\frac{2}{3}{4}^3-25)\\ & =\frac{128-75}{6}\\ & =\frac{53}{6}\end{array}$

Also ist

$y(t)=\sqrt{\frac{2}{3}{t}^3-\frac{53}{3}}$

die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe