Getrennte Variablen/y' ist t^3 durch y^2/y(1) ist 1/Aufgabe/Lösung

a) Wir setzen $g(t)=t^3$ und $h(y)=\frac{1}{y^2}$. Eine Stammfunktion von $g(t)$ ist $G(t)=\frac{1}{4}{t}^4$ und eine Stammfunktion von $\frac{1}{h(y)}=y^2$ ist $H(y)=\frac{1}{3}{y}^3$. Die Umkehrfunktion von $H$ ist

$H^{-1}(z)=\sqrt[3]{3z}.$

Daher ist

$y(t)=\sqrt[3]{\frac{3}{4}{t}^4}=\sqrt[3]{\frac{3}{4}}{t}^{4/3}$

eine Lösung der Differentialgleichung.

b) Wir machen den Ansatz $H(y)=\frac{1}{3}{y}^3+c$ mit der Umkehrfunktion

$H^{-1}(z)=\sqrt[3]{3z-3c},$

was zur Lösung(sschar) $y(t)=\sqrt[3]{\frac{3}{4}{t}^4-3c}$ führt. Aus

$1=y(1)=\sqrt[3]{\frac{3}{4}1-3c}$

folgt $c=-\frac{1}{12}$. Also ist

$y(t)=\sqrt[3]{\frac{3}{4}{t}^4+\frac{1}{4}}$

die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe