Gewöhnliche Differentialgleichung/Rational-homogen/1/Aufgabe/Lösung

Mit dem Ansatz

${}y=z\cdot t\,$

wird die rechte Seite der Differentialgleichung zu

${}{\frac {4y+5t}{2y-3t}}={\frac {4zt+5t}{2zt-3t}}={\frac {4z+5}{2z-3}}\,$

und die linke Seite zu

${}y'=(z\cdot t)'=z+tz'\,.$

Die Bedingung wird zu

${}z+tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}\,$

bzw. zu

${}tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}-z={\frac {4z+5-z(2z-3)}{2z-3}}={\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,$

bzw. zur Differentialgleichung mit getrennten Variablen

${}z'={\frac {1}{t}}\cdot {\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe