Gewöhnliche Differentialgleichung/Vektorfeld/Entkoppelt/Beispiel

Es seien ${}n$ reellwertige Funktionen ${}f_{i}(t,x)$ in zwei Variablen gegeben. Diese kann man zu einem Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\left(f_{1}(t,x_{1}),f_{2}(t,x_{2}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n})\right)}$

zusammenfassen. Dabei hängt die ${}i$-te Koordinatenfunktion des Vektorfeldes nur von ${}t$ und der ${}i$-ten Ortskoordinaten ${}x_{i}$ ab. Eine Lösungskurve ${}x(t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ muss die Bedingungen

${}x'_{i}(t)=F_{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{i}(t,x_{i})\,$

(für ${}i=1,\ldots ,n$) erfüllen. Diese ${}n$ Bedingungen sind unabhängig voneinander, d.h. man kann die ${}n$ Komponentenfunktionen ${}x_{i}(t)$ getrennt mit einem eindimensionalen Ansatz bestimmen. Daher spricht man von einem entkoppelten Differentialgleichungssystem.

Manchmal ist ein Differentialgleichungssystem in den ursprünglich gegebenen Koordinaten nicht entkoppelt, lässt sich aber durch einen Koordinatenwechsel entkoppeln und dann lösen. Dies ist vor allem für lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten wichtig, die mit Mitteln der linearen Algebra entkoppelt werden können.