Gewöhnliche Differentialgleichung/Wüstenausbreitung/y' ist Wurzel aus y/Beispiel

Eine Wüste (oder ein Kornblumenfeld) sei kreisrund und breite sich mit der Zeit kontinuierlich aus, indem die Grenze gleichmäßig nach außen geschoben werde, und zwar pro Zeiteinheit um einen gewissen Vortrieb. Die Fläche der Wüste werde durch die Funktion ${}z(t)$ beschrieben. Die Grenze der Wüste hat somit die Länge ${}2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {z(t)}}$ und diese Länge ist proportional zum Wüstenzuwachs zum Zeitpunkt ${}t$. Es ergibt sich daher eine Differentialgleichung

${}z'(t)=c{\sqrt {z(t)}}\,$

mit einer Konstanten ${}c\in \mathbb {R} _{+}$. Die Lösungen haben die Form

${}z(t)={\frac {c^{2}}{4}}t^{2}\,,$

wie man direkt durch Ableiten bestätigen kann.