Gitter/C/Repräsentant im Fundamentalbereich/4/Aufgabe/Lösung

Wir strecken das Gitter mit dem Inversen von ${}3+{\mathrm {i} }$, also mit

${}{\left(3+{\mathrm {i} }\right)}^{-1}={\frac {3-{\mathrm {i} }}{{\left(3+{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-{\mathrm {i} }\right)}}}={\frac {3}{10}}-{\frac {1}{10}}{\mathrm {i} }\,.$

Wegen

${}{\left(-1+2{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {3}{10}}-{\frac {1}{10}}{\mathrm {i} }\right)}=-{\frac {3}{10}}+{\frac {2}{10}}+{\left({\frac {6}{10}}+{\frac {1}{10}}\right)}{\mathrm {i} }=-{\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }=\sigma \,$

ist das Gitter streckungsäquivalent zu

$\langle 1,-{\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }\rangle .$

Der zweite Erzeuger ${}\sigma$ liegt nicht im Fundamentalbereich, sein Betragsquadrat ist

${}{\frac {1}{100}}+{\frac {49}{100}}={\frac {1}{2}}<1\,.$

Es ist

${}-\sigma ^{-1}=-{\frac {1}{\frac {1}{2}}}{\left(-{\frac {1}{10}}-{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }\right)}=2{\left({\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{5}}+{\frac {7}{5}}{\mathrm {i} }\,.$

Der Betrag hiervon ist ${}>1$ und der Realteil ist zwischen ${}-{\frac {1}{2}}$ und ${}{\frac {1}{2}}$, diese Element liegt also im Fundamentalbereich. Es ist also

${}\tau ={\frac {1}{5}}+{\frac {7}{5}}{\mathrm {i} }\,.$

Zur gelösten Aufgabe