Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Gerade/Ordnungsverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bedingung ${}2w\in \Gamma$ ist zu ${}w=-w\mod \Gamma$ äquivalent. Für jede elliptische Funktion ${}g$ gilt daher ${}g(w)=g(-w)$. Es sei ${}f$ eine gerade elliptische Funktion ${}\neq 0$. Durch Übergang zu ${}{\frac {1}{f}}$ können wir davon ausgehen, dass ${}f$ in ${}w$ holomorph ist. Aus ${}f(z)=f(-z)$ folgt mit Aufgabe, dass die Ableitungen von ${}f$ abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für ${}k$ ungerade hat man dann einerseits ${}f^{(k)}(w)=f^{(k)}(-w)$ und andererseits ${}f^{(k)}(w)=-f^{(k)}(-w)$, also ${}f^{(k)}(w)=0$. Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.

Zur bewiesenen Aussage