Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Gerade/Ordnungsverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bedingung  ${}2w\in \Gamma$  ist zu  ${}w=-w\mod \Gamma$  äquivalent. Für jede elliptische Funktion ${}g$ gilt daher  ${}g(w)=g(-w)$.  Es sei ${}f$ eine gerade elliptische Funktion ${}\neq 0$. Durch Übergang zu ${}{\frac {1}{f}}$ können wir davon ausgehen, dass ${}f$ in ${}w$ holomorph ist. Aus  ${}f(z)=f(-z)$  folgt mit Aufgabe, dass die Ableitungen von ${}f$ abwechselnd gerade bzw. ungerade elliptische Funktionen sind. Für ${}k$ ungerade hat man dann einerseits  ${}f^{(k)}(w)=f^{(k)}(-w)$  und andererseits  ${}f^{(k)}(w)=-f^{(k)}(-w)$,  also  ${}f^{(k)}(w)=0$.  Also ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade.

Zur bewiesenen Aussage