Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung/Isogenie/Kernanzahl und Determinante/Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter, ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$, mit ${}s\Gamma \subseteq \Gamma$. Es sei ${}\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ eine Identifizierung und ${}M$ die beschreibende Matrix der Abbildung

$s\colon \Gamma \longrightarrow \Gamma$

unter dieser Identifizierung. Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma ,\,[z]\longmapsto [sz]$

die zugehörige Isogenie. Zeige, dass die Anzahl des Kernes von ${}\varphi$ mit der Determinante

von ${}M$ übereinstimmt.

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