Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt

Es sei  $\Gamma =⟨u,v⟩\subseteq ℂ$  ein Gitter und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Dann führt die Multiplikation mit $n$ zu einem kommutativen Diagramm

$\begin{array}{cccc}ℂ& \stackrel{n}{⟶}& ℂ& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ ℂ/\Gamma & \stackrel{[n]}{⟶}& ℂ/\Gamma & .\end{array}$

von Gruppenhomomorphismen. Die Abbildung $[n]$ ist eine surjektive Isogenie und der Kern von $[n]$ wird durch die $n^2$ Elemente

$\{i\frac{u}{n}+j\frac{v}{n}\mid i,j=0,1,\dots ,n-1\}$

repräsentiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen