Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Verfeinerungsgitter/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v$ und ${}\Gamma _{1}=\mathbb {Z} w+\mathbb {Z} z$. Dann gibt es ${}p,q,r,s\in \mathbb {Z}$ mit ${}w=pu+qv$ und ${}z=ru+sv$. Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist

${}\det {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=\pm n\neq 0\,.$

Somit gibt es eine weitere Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mit

${}{\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}}\,.$

Mit diesem ${}n$ gilt die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage