Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Verfeinerungsgitter/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $\Gamma =\mathbb{Z}u+\mathbb{Z}v$  und  ${\Gamma }_1=\mathbb{Z}w+\mathbb{Z}z$.  Dann gibt es  $p,q,r,s\in \mathbb{Z}$  mit  $w=pu+qv$  und  $z=ru+sv$.  Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist

$det\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=\pm n\ne 0.$

Somit gibt es eine weitere Matrix $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ mit

$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n& 0\\ 0& n\end{array}\right).$

Mit diesem $n$ gilt die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage