Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung

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Die Idee zu dieser Addition ist recht einfach und zeigt, warum hier der Kurvengrad entscheidend ist. Zwei verschiedene Punkte legen eine projektive Gerade in der projektiven Ebene fest. Der Durchschnitt besteht aus drei Punkten, gezählt mit Multiplizitäten, wobei natürlich und zum Durchschnitt gehören. Wenn die Gerade weder zu noch zu tangential ist, so gibt es noch einen weiteren Schnittpunkt . Dieser Punkt ist nun nicht die Summe von und . Dies kann nicht sein, da ja die drei Punkte des Schnittes gleichberechtigt sind (dann würde beispielsweise , also mit dem Nullpunkt für alle Punkte gelten). Stattdessen soll für ein solches kolineares Punktetripel

gelten, also . Wo liegt ? Nach dem gleichen Prinzip gilt

d.h. ist der dritte Schnittpunkt der Kurve mit der durch und festgelegten Geraden. Wenn die Gerade tangential zu und wenn der dritte Schnittpunkt ist, so ist die obige Gleichung als

zu interpretieren und

bzw. . Für den Nullpunkt ergibt sich aus , dass eine Wendepunkt sein muss. Von dieser Idee her kann man sich gut vorstellen, dass es eine wohldefinierte Verknüpfung auf einer elliptischen Kurve gibt. Es ist aber keineswegs klar, dass diese durch polynomiale Ausdrücke gegeben ist, dass sie assoziativ ist und dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt.