Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung

Die Idee zu dieser Addition ist recht einfach und zeigt, warum hier der Kurvengrad $3$ entscheidend ist. Zwei verschiedene Punkte  $P,Q\in E\subseteq {\mathbb{P}}_{}^2$  legen eine projektive Gerade $G$ in der projektiven Ebene fest. Der Durchschnitt $E\cap G$ besteht aus drei Punkten, gezählt mit Multiplizitäten, wobei natürlich $P$ und $Q$ zum Durchschnitt gehören. Wenn die Gerade $G$ weder zu $P$ noch zu $Q$ tangential ist, so gibt es noch einen weiteren Schnittpunkt $R$. Dieser Punkt ist nun nicht die Summe von $P$ und $Q$. Dies kann nicht sein, da ja die drei Punkte des Schnittes gleichberechtigt sind (dann würde beispielsweise  $P+Q+Q=R+Q=P$,  also  $Q+Q=𝔒$  mit dem Nullpunkt $𝔒$ für alle Punkte gelten). Stattdessen soll für ein solches kolineares Punktetripel

$P+Q+R=𝔒$

gelten, also  $P+Q=-R$.  Wo liegt $-R$? Nach dem gleichen Prinzip gilt

$-R+R+𝔒=𝔒,$

d.h. $-R$ ist der dritte Schnittpunkt der Kurve mit der durch $𝔒$ und $R$ festgelegten Geraden. Wenn die Gerade $G$ tangential zu $P$ und wenn $R$ der dritte Schnittpunkt ist, so ist die obige Gleichung als

$2P+R=𝔒$

zu interpretieren und

$P+R=-P$

bzw.  $2P=-R$.  Für den Nullpunkt ergibt sich aus  $2𝔒=-R=𝔒$,  dass $𝔒$ eine Wendepunkt sein muss. Von dieser Idee her kann man sich gut vorstellen, dass es eine wohldefinierte Verknüpfung auf einer elliptischen Kurve gibt. Es ist aber keineswegs klar, dass diese durch polynomiale Ausdrücke gegeben ist, dass sie assoziativ ist und dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt.