Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Gruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Verknüpfung ist wohldefiniert, da ${}\star$ auf einer glatten Kurve vom Grad ${}3$ wohldefiniert ist. Die Verknüpfung ist kommutativ, da dies für ${}\star$ gilt. Es ist

${}P+{\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\star ({\mathfrak {O}}\star P)\,.$

Rechts steht der neben ${}{\mathfrak {O}}$ und ${}P$ dritte Punkt der dadurch definierten Geraden ${}{\overline {{\mathfrak {O}},P}}$. Dieser Punkt definiert aber mit ${}{\mathfrak {O}}$ eben diese Gerade, und daher ist der dritte Punkt darauf neben diesem Punkt und ${}{\mathfrak {O}}$ wiederum gleich ${}P$. Das bedeutet, dass ${}{\mathfrak {O}}$ das neutrale Element ist. Ferner ist

${}P+(-P)={\mathfrak {O}}\star (P\star (-P))={\mathfrak {O}}\star (P\star ({\mathfrak {O}}\star P))={\mathfrak {O}}\star {\mathfrak {O}}={\mathfrak {O}}\,,$

wobei die letzte Gleichheit darauf beruht, dass ${}{\mathfrak {O}}$ ein Wendepunkt ist.

Zum Nachweis der Assoziativität ${}(P+Q)+R=P+(Q+R)$ betrachten wir die folgenden Geraden mit jeweils drei relevanten Punkten, die auf der elliptischen Kurve liegen.

1. ${}L_{1}$ durch ${}P,Q,-(P+Q)$.
2. ${}L_{2}$ durch ${}R,P+Q,-((P+Q)+R)$.
3. ${}L_{3}$ durch ${}Q+R,{\mathfrak {O}},-(Q+R)$.
4. ${}L_{4}$ durch ${}Q,R,-(Q+R)$.
5. ${}L_{5}$ durch ${}P,Q+R,-(P+(Q+R))$.
6. ${}L_{6}$ durch ${}P+Q,{\mathfrak {O}},-(P+Q)$.

Es sei

${}D:=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}\,$

und

${}D':=L_{4}\cup L_{5}\cup L_{6}\,,$

die selbst kubische Kurven sind, ihr Durchschnitt mit ${}E$ besteht aus den angeführten neun Punkten, die im Allgemeinen aber mit Multiplizitäten auftreten können. Wir nehmen an, dass alle Punkte verschieden sind, die anderen Situationen erfordern Sonderbetrachtungen, siehe Aufgabe. Die Schnittpunkte ${}E\cap D$ sind also

${\mathfrak {O}},P,Q,R,P+Q,-(P+Q),Q+R,-(Q+R),-((P+Q)+R),$

die Schnittpunkte ${}E\cap D'$ sind die gleichen Punkte mit der Ausnahme, dass ganz hinten ${}-(P+(Q+R))$ steht. Nach Fakt folgt in dieser Situation aber (wir können zum algebraischen Abschluss übergehen)

${}-((P+Q)+R)=-(P+(Q+R))\,.$

Zur bewiesenen Aussage