Glatte projektive Kurven/C/Kurzübersicht zur topologischen Gestalt/Bemerkung

Wählt man die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ als Grundkörper, so kann man eine glatte projektive Kurve auch als eine reell zweidimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit auffassen. Diese lassen sich topologisch einfach klassifizieren, und zwar ist eine solche Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer Kugeloberfläche, an die ${}g$ Henkel angeklebt werden. Diese Zahl nennt man das Geschlecht der reellen Fläche und damit auch der Kurve. Die komplex-projektive Gerade ist eine zweidimensionale Sphäre und hat keinen Henkel, ihr Geschlecht ist also ${}0$. Eine Fläche vom Geschlecht ${}1$ ist ein Torus (ein Autoreifen) der homöomorph zu ${}S^{1}\times S^{1}$ ist. Projektive Kurven, die als topologische Mannigfaltigkeit das Geschlecht eins besitzen, nennt man elliptische Kurven.

Es gibt auch algebraische Definitionen für das Geschlecht, sodass diese Invariante für glatte projektive Kurven über jedem algebraisch abgeschlossenen Körper definiert ist. Und zwar ist das Geschlecht gleich der ${}K$-Dimension der ersten Kohomologiegruppe der Strukturgarbe und auch gleich der ${}K$-Dimension der globalen Differentialformen auf der Kurve. Zu jedem ${}g$ gibt es projektive Kurven mit Geschlecht ${}g$. Insbesondere kann man jede orientierbare reell zweidimensionale kompakte Fläche als komplex-projektive Kurve realisieren. Man spricht dann auch von Riemannschen Flächen.

Für eine glatte ebene Kurve ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ vom Grad ${}d=\operatorname {grad} \,(F)$ gibt es eine einfache Formel für das Geschlecht: es ist nämlich

${}g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}\,.$

Damit haben glatte projektive Kurven vom Grad eins und zwei (Geraden und Quadriken) das Geschlecht ${}0$, es handelt sich (vom Isomorphietyp her) in der Tat um projektive Geraden. Für ${}d=3$ erhält man das Geschlecht ${}1$, also elliptische Kurven. Für ${}d=4$ erhält man schon ${}g=3$. Dies zeigt auch, dass sich nicht jedes Geschlecht als Geschlecht einer ebenen glatten Kurve realisieren lässt. Es ist beispielsweise gar nicht so einfach, explizit Gleichungen für eine Kurve vom Geschlecht ${}2$ anzugeben.